Bất phương trình m{x^2} - (2m - 1)x + m + 1 < 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi

Phương pháp giải

Chia trường hợp \(m = 0,m \ne 0\). Đưa bài toán về \(f\left( x \right) \ge 0\) luôn đúng với mọi m.

Giải chi tiết

Với \(m = 0 \Rightarrow x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - 1\) có nghiệm nên không thỏa mãn.
Với \(m \ne 0\) bất phương trình có dạng tam thức bậc hai. Khi đó để
\(m{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + m + 1 < 0\)\( \Leftrightarrow m{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + m + 1 \ge 0{\rm{\;}}\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{{\rm{\Delta }} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{{{(2m - 1)}^2} - 4m\left( {m + 1} \right) \le 0}\end{array}\)\( \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} - 4m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{ - 8m + 1 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m \ge \frac{1}{8}}\end{array} \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{8}\)

Đáp án cần chọn là: D