Bất phương trình: log cơ số 2 của (x^2 − x − 2) ≥ log cơ số 0,5 của (x − 1) + 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc [0; 2023]?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - x - 2 > 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\) ⇔ x > 2

Ta có: \({\log _2}({x^2} - x - 2)\) ≥ log_0,5(x – 1) + 1 ⇔ \({\log _2}({x^2} - x - 2)\) ≥ \({\log _{{2^{ - 1}}}}(x - 1)\) + 1

⇔ \({\log _2}({x^2} - x - 2)\) ≥ –log₂(x – 1) + 1 ⇔ \({\log _2}({x^2} - x - 2)\) + log₂(x – 1) ≥ 1

⇔ \({\log _2}({x^2} - x - 2)(x - 1)\) ≥ 1 ⇔ (x² – x – 2)(x – 1) ≥ 2¹ ⇔ (x² – x – 2)(x – 1) ≥ 2

⇔ x³ – x² – x² + x – 2x + 2 ≥ 2 ⇔ x³ – 2x² – x ≥ 0 ⇔ x ∈ [1 – \(\sqrt 2 \), 0] ∪ [1 +\(\sqrt 2 \), \( + \infty \))

Kết hợp với điều kiện, suy ra x ≥ 1 + \(\sqrt 2 \) ≈ 2,41

Suy ra các nghiệm nguyên thuộc [0; 2023] là x ∈ {3; 4; 5;…; 2023}

⇒ Bất phương trình có: 2021 nghiệm nguyên thuộc [0; 2023]

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình thuộc [0; 2023] là 2021.