Bất phương trình 2^x − ( 2 − m^2 ) .2^− x > m nghiệm đúng với mọi x ∈ R khi và chỉ khi

Giải thích

Ta có: \({2^x} - \left( {2 - {m^2}} \right){.2^{ - x}} > m\)

\( \Leftrightarrow {2^x} - \left( {2 - {m^2}} \right).\frac{1}{{{2^x}}} - m > 0{\rm{ }}\)

\( \Leftrightarrow {2^{2x}} - m{.2^x} - \left( {2 - {m^2}} \right) > 0\)

Đặt \(t = {2^x}(t > 0)\). Bất phương trình trở thành: \({t^2} - mt - \left( {2 - {m^2}} \right) > 0\,\,(*)\).

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \) Bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi \(t > 0\).

TH1. Phương trình \({t^2} - mt - \left( {2 - {m^2}} \right) = 0\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta  < 0 \Leftrightarrow {( - m)^2} + 4\left( {2 - {m^2}} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}\\{m <  - \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}\end{array}} \right.\)

TH2. Phương trình \({t^2} - mt - \left( {2 - {m^2}} \right) = 0\) có hai không dương

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta  \ge 0}\\{S < 0}\\{P \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{( - m)}^2} + 4\left( {2 - {m^2}} \right) \ge 0}\\{m < 0}\\{ - \left( {2 - {m^2}} \right) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow  - \frac{{2\sqrt 6 }}{3} \le m \le  - \sqrt 2 } \right.} \right.\)

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}\\{m \le  - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\).

 Chọn D