Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD và đường phân giác trong AO (D, O thuộc cạnh BC). Kẻ OM vuông góc với AB tại M, ON vuông góc với AC tại N. (a) Chứng minh OM=ON và ˆBDM=ˆODN. (ảnh 1)

a) Ta có \[\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = {90^0}\] (giả thiết); \[\widehat {ADO} = {90^0}\] (giả thiết).

Tam giác AMO vuông tại M nên tam giác AMO nội tiếp đường tròn đường kính AO có tâm là trung điểm của cạnh huyền AO.

Tương tự, hai tam giác ADO và ANO

ngoại tiếp đường tròn đường kính AO.

Suy ra bốn điểm D, M, N, O cùng

nằm trên đường tròn đường kính AO.

b) Chứng minh được hai tam giác OAM và OAN bằng nhau suy ra OM = ON.

Do tứ giác MDON nội tiếp nên \[\widehat {ODN} = \widehat {OMN}\] và \[\widehat {BDM} = \widehat {ONM}\].

Mà \[\widehat {ONM} = \widehat {OMN}\](do tam giác OMN cân tại O). Suy ra \[\widehat {ODN} = \widehat {BDM}\] (đpcm).

c) Qua I, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P, Q.

Ta có: \[\widehat {IOP} = \widehat {IMP} = \widehat {INA}\], \[\widehat {INA} = \widehat {IOQ}\] (vì tứ giác OINQ nội tiếp).

Suy ra \[\widehat {IOP} = \widehat {IOQ}\]. Mà OI vuông góc PQ nên OI là trung tuyến của tam giác OPQ.

Ta có PQ//BC nên \[\frac{{IP}}{{KB}} = \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{IQ}}{{KC}}\]. Mà IP = IQ, suy ra KB = KC.

Vậy K là trung điểm của BC.

Bảng thống kê sau cho biết chiều cao của học sinh một lớp 9 Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho bảng thống kê trên.