Bạn Xuân Anh có một tờ giấy cứng hình chữ nhật ABCD với AB = 4 dm , AD = 2 dm . Bạn chọn một điểm M thuộc cạnh BC rồi dùng thước kẻ vạch và cắt tờ giấy theo đường thẳng AM , chia tờ
20/22
Bạn Xuân Anh có một tờ giấy cứng hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB = 4\,dm,\,\,AD = 2\,dm.\) Bạn chọn một điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) rồi dùng thước kẻ vạch và cắt tờ giấy theo đường thẳng \(AM,\) chia tờ giấy thành hai phần.
Phần mảnh giấy chứa cạnh \(CD:\) Bạn muốn cắt được một hình vuông có đỉnh \(D,\) hai cạnh nằm trên đường \(DA\) và \(DC,\) đỉnh còn lại hình vuông thuộc đường cắt \(AM.\)
Phần mảnh giấy chứa cạnh \(AB:\) Bạn muốn cắt được một hình tròn sao cho hình tròn tiếp xúc với cả ba cạnh tam giác \(ABM.\)
Gọi \(S\)(phần tô đậm trong hình vẽ) là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn cắt được. Hỏi khi \(M\) di động trên \(SB,\) giá trị nhỏ nhất của \(S\)bằng bao nhiêu \(dm\) (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 3,16
Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ ( đơn vị trên hệ trục là dm).
Ta có \(A(0;0),\,\,B(4;0),\,\,C(4;2),\,\,D(0;2).\)
Vì \(M\)thuộc cạnh \(BC\) nên \(M(4;m),\,\,(0 < m < 2).\)
Ta có \(AM = \sqrt {16 + {m^2}} \), Bán kính hình tròn nội tiếp tam giác \(ABM\) là
\(r = \frac{{{S_{ABM}}}}{p} = \frac{{\frac{1}{2}.AB.BM}}{{\frac{1}{2}(AB + BM + AM)}} = \frac{{4m}}{{4 + m + \sqrt {16 + {m^2}} }} = \frac{{4 + m - \sqrt {16 + {m^2}} }}{2}\) nên diện tích hình tròn là \({S_1} = \pi {r^2} = \pi {\left( {\frac{{4 + m - \sqrt {16 + {m^2}} }}{2}} \right)^2}\)
Gọi \(a,\,(0 < a < 2)\) là cạnh hìn vuông thì đỉnh đối diện với đỉnh \(D\) là đỉnh \(I(a;2 - a)\) thuộc đường
thẳng \(AM:\,y = \frac{m}{4}.x \Rightarrow 2 - a = \frac{m}{4}.a \Rightarrow a = \frac{8}{{4 + m}}\).
Suy ra diện tích hình vuông là \({S_2} = {a^2} = \frac{{64}}{{{{(4 + m)}^2}}}\)
Tổng diện tích hình vuông và hình tròn là
\(S(m) = {S_1} + {S_2} = \pi {\left( {\frac{{4 + m - \sqrt {16 + {m^2}} }}{2}} \right)^2} + \frac{{64}}{{{{(4 + m)}^2}}}\), với \(0 < m < 2.\)
Table ta được giá trị tổng diện tích nhỏ nhất xấp xỉ \(3,16\,(d{m^2})\)