Ban quản lý một bãi tắm biển dùng 300 m dây phao bao quanh một khu vực hình
5/5
Ban quản lý một bãi tắm biển dùng \[300\,\,{\rm{m}}\] dây phao bao quanh một khu vực hình chữ nhật trên bãi biển để tạo thành “khu vực tắm biển an toàn”. Bờ biển sẽ tạo thành một cạnh của hình chữ nhật đó còn dây phao tạo thành ba cạnh của hình chữ nhật (như minh họa trên hình vẽ). Để đảm bảo an toàn người tắm biển chỉ được bơi cách bờ biển không quá \[25\,\,{\rm{m}}\,{\rm{.}}\] Tính diện tích “khu vực tắm biển an toàn” lớn nhất mà ban quản lý bãi tắm có thể quây được, khi đó chiều dài bờ biển của “khu vực tắm biển an toàn” là bao nhiêu?
Gọi \(x\,\,{\rm{(m)}}\) là độ dài cạnh vuông góc với bờ biển;
\(y\,\,{\rm{(m)}}\) là độ dài cạnh song song với bờ biển của “khu vực tắm biển an toàn” \(\left( {x,\,\,y > 0} \right).\)
Độ dài dây phao là \[300\,\,{\rm{m}}\] nên \(2x + y = 300\), suy ra \(y = 300 - 2x.\)
Vì người tắm chỉ được bơi cách bờ biển không quá \[25\,\,{\rm{m}}\] nên \(x \le 25.\)
Diện tích “khu vực tắm biển an toàn” có thể quây được là \(S = xy.\)
Suy ra \(S = x\left( {300 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 300x = - 2{\left( {x - 75} \right)^2} + 11\,\,250.\)
Vì \(x \le 25\) nên \(x - 75 \le - 50\).
Suy ra \(75 - x \ge 50 > 0\) nên \({\left( {75 - x} \right)^2} \ge 2\,\,500.\)
\( - 2{\left( {75 - x} \right)^2} \le - 5\,\,000\)
\( - 2{\left( {75 - x} \right)^2} + 11\,\,250 \le 6\,\,250\).
Do đó \(S \le 6\,\,250\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 25\) (TMĐK).
Khi đó, \(y = 300 - 2x = 300 - 2 \cdot 25 = 250.\)
Vậy diện tích lớn nhất của “khu vực tắm biển an toàn” là \(6\,\,250\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) và chiều dài bờ biển của “khu vực tắm biển an toàn” là \(250\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)