Bạn Nam làm một căn nhà đồ chơi bằng gỗ có phần mái là một chóp tứ giác đều. Biết các cạnh bên của mái nhà bạn Nam dùng các thanh gỗ có chiều dài 16 cm

⦁ Diện tích giấy màu cần sử dụng chính bằng tổng diện tích bốn mặt bên là các tam giác cân có cạnh bên bằng 16 cm và cạnh đáy là 2x cm.

Xét tam giác \(SBC\), kẻ đường cao \(SH \bot BC\) tại \(H\).

Do tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác, suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Suy ra \(BH = HC = \frac{{BC}}{2} = x{\rm{ (cm) }}\left( {0 < x < 16} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}\)

Suy ra \(S{H^2} = {16^2} - {x^2} = 256 - {x^2}.\)

Do đó \(SH = \sqrt {256 - {x^2}} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích tam giác \(SBC\) là \(\frac{1}{2}SH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {256 - {x^2}} \cdot 2x = x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích giấy màu cần sử dụng là \(S = 4x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

⦁ Yêu cầu bài toán đưa về thực hiện tìm giá trị lớn nhất của \(S = 4x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\)với \(0 < x < 16\).

Ta có: \(4x\sqrt {256 - {x^2}} = 4\sqrt {256{x^2} - {x^4}} \)

                                \( = 4\sqrt { - \left( {{x^4} - 2 \cdot 128{x^2} + {{128}^2}} \right) + {{128}^2}} \)

                                \( = 4\sqrt { - {{\left( {{x^2} - 128} \right)}^2} + {{128}^2}} \le 4\sqrt {{{128}^2}} = 512\)

Do đó, \(S \le 512\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} - 128 = 0\) hay \(x = 8\sqrt 2 \) (do \(0 < x < 16)\).

Khi đó, độ dài cạnh đáy của phần mái là \(16\sqrt 2 {\rm{ cm}}.\)

Vậy diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là \(512{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\) khi độ dài cạnh đáy của phần mái là \(16\sqrt 2 {\rm{ cm}}.\)