Bạn Minh sử dụng 12 thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là 20 c m , 30 c m , 60 c m

22/22

Bạn Minh sử dụng $12$ thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là $20{\rm{cm}}$, $30{\rm{cm}}$, $60{\rm{cm}}$. Vào lúc ánh nắng mặt trời vuông góc với mặt sân, Minh để hình hộp đó trong không trung. Các cạnh hình hộp được in bóng là các đoạn thẳng trên mặt sân. Giả sử rằng các tia nắng song song với nhau và mặt sân phẳng. Giá trị lớn nhất của tổng độ dài bóng tất cả các cạnh hình hộp chữ nhật (đơn vị cm) có dạng $a + b\sqrt {13} $$\left( {a,b \in {\mathbb{N}^*}} \right)$. Tính $a + b$.

$Bạn Minh sử dụng $12$ thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là $20{\rm{cm}}$, $30{\rm{cm}}$, $60{\rm{cm}}$ (ảnh 1)$

Giải thích

Giả sử $AB = 20{\rm{cm}}$, $AC = 30{\rm{cm}}$, $BC = 60{\rm{cm}}$.

Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là hình chiếu của $A$, $B$, $C$, $D$ lên mặt sân và $\alpha $, $\beta $, $\gamma $ lần lượt là góc của các đường thẳng $AB$, $AC$, $AD$ với mặt sân (khi cạnh hình hộp song song với mặt sân thì ta coi góc bằng $0$).

Tổng độ dài bóng tất cả các cạnh hình hộp chữ nhật:

$S = 4\left( {MN + MP + MQ} \right) = 40\left( {2\cos \alpha + 3\cos \beta + 6\cos \gamma } \right)$.

+ Trường hợp 1: Có đúng hai góc bằng $0$.

Giả sử \[\beta = \gamma = 0\]. Khi đó: \[\alpha = 90^\circ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = 1\].

+ Trường hợp 2: Có đúng một góc bằng $0$.

$Bạn Minh sử dụng $12$ thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là $20{\rm{cm}}$, $30{\rm{cm}}$, $60{\rm{cm}}$ (ảnh 2)$

Giả sử \[\gamma = 0\]. Gọi \[E\], \[F\] lần lượt là giao điểm của $AB$, $AC$ với mặt phẳng sân.

Do \[\Delta AEF\] vuông tại \[A\] nên \[{\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = 1\].

+ Trường hợp 3: Cả ba góc $\alpha $, $\beta $, $\gamma $ đều nhỏ hơn $90^\circ $.

$Bạn Minh sử dụng $12$ thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là $20{\rm{cm}}$, $30{\rm{cm}}$, $60{\rm{cm}}$ (ảnh 3)$

Gọi \[E\], \[F\], \[K\] lần lượt là giao điểm của $AB$, $AC$, $AD$ với mặt phẳng sân; \[H\] là trực tâm \[\Delta EFK\]. Khi đó:

\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} \Rightarrow \frac{{A{H^2}}}{{A{E^2}}} + \frac{{A{H^2}}}{{A{F^2}}} + \frac{{A{H^2}}}{{A{K^2}}} = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = 1\].

Với mọi trường hợp, ta luôn có: \[{\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 2\].

Đặt \[x = \cos \alpha \], \[y = \cos \beta \], \[z = \cos \gamma \]\[\left( {0 \le x,y,z \le 1} \right)\] nên \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\].

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

\[2x + 3y \le \sqrt {13\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = \sqrt {13\left( {2 - {z^2}} \right)} \Rightarrow S \le 40\left[ {\sqrt {13\left( {2 - {z^2}} \right)} + 6z} \right] = 40\left( {\sqrt {26 - 13{z^2}} + 6z} \right)\].

Xét hàm số: \[f\left( z \right) = \sqrt {26 - 13{z^2}} + 6z \Rightarrow f'\left( z \right) = 6 - \frac{{13z}}{{\sqrt {26 - 13{z^2}} }}\], \[0 \le z \le 1\].

Ta có \[f'\left( z \right) = 0 \Leftrightarrow 6\sqrt {26 - 13{z^2}} = 13z \Leftrightarrow z = \frac{{6\sqrt 2 }}{7} \notin \left[ {0;1} \right]\]; \[f\left( 0 \right) = \sqrt {26} \]; \[f\left( 1 \right) = 6 + \sqrt {13} \].

Vậy \[{S_{\max }} = 40\left( {6 + \sqrt {13} } \right) = 240 + 40\sqrt {13} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 240\\b = 40\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 240 + 40 = 280\].