Bạn Minh dùng một miếng bìa hình vuông ABCD cạnh bằng 40cm và cắt theo đường nét đứt (như hình vẽ) để làm một chiếc đèn lồng gồm ba phần: Phần thân của đèn là một hình lăng trụ tứ giác đều, h

Đáp án: 3057

Tấm bìa hình vuông cạnh \(40\) cm được chia thành:

  • 4 hình chữ nhật ở giữa làm thân lồng đèn,

  • 4 tam giác phía trên và 4 tam giác phía dưới tạo thành 2 hình chóp tứ giác đều.

Vì cạnh hình vuông là 40 và có 4 mặt bên bằng nhau nên cạnh đáy hình lăng trụ là \(\frac{{40}}{4} = 10\) cm.

Đặt:

  • \(AH = KD = x\),

  • chiều cao phần thân là \(HK = 40 - 2x\).

Khi đó:

  • phần thân là lăng trụ đáy vuông cạnh \(10\), cao \(40 - 2x\);

  • mỗi đầu là một hình chóp tứ giác đều đáy cạnh \(10\).

Với tam giác bên của chóp, đường cao mặt bên bằng \(x\), nên chiều cao chóp là

\(h = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{10}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} - 25} \).

Thể tích đèn lồng: \(V(x) = {10^2}(40 - 2x) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot {10^2}\sqrt {{x^2} - 25} \)

\( = 100(40 - 2x) + \frac{{200}}{3}\sqrt {{x^2} - 25} \).

Lấy đạo hàm: \(V'(x) =  - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }}\).

Cho \(V'(x) = 0\):

\( - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3\sqrt {{x^2} - 25} \)\( \Leftrightarrow {x^2} = 9{x^2} - 225\)

\( \Leftrightarrow 8{x^2} = 225\)\( \Rightarrow x = \frac{{15\sqrt 2 }}{4}\).

Thay vào \(V(x)\):

\({V_{\max }} = 4000 - \frac{{2000\sqrt 2 }}{3} \approx 3057,19\).