Bạn Minh cần bao nhiêu triệu đồng để sơn bức tường đó?
31/34
Một bức tường hình chữ nhật \[ABCD\]có kích thước lần lượt là \[6{\rm{ m}}\]và \[4\,\,{\rm{m}}\]được bạn Minh trang trí bằng cách vẽ hai đồ thị hàm số \[f\left( x \right) = {a^x}\]\[\left( {0 < a \ne 1} \right)\] và \[g\left( x \right) = {\log _b}x\]\[\left( {0 < b \ne 1} \right)\]đối xứng nhau qua đường thẳng \[y = x\]. Bức tường được chia làm 3 phần (tham khảo hình vẽ).
Phần \[{H_1}\]được sơn màu xanh da trời, phần \[{H_2}\]sơn màu vàng và phần \[{H_3}\]được sơn màu xanh lá cây. Bạn Minh cần mua các hộp sơn mà mỗi hộp chỉ sơn được một màu tương ứng với các màu mà bạn Minh định sơn. Biết rằng mỗi hộp sơn chỉ sơn được tối đa \[3{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] tường, giá một hộp sơn màu xanh da trời là 120 000 đồng, giá một hộp sơn màu xanh lá cây là 140 000 đồng, giá một hộp sơn màu vàng là 160 000 đồng. Cửa hàng chỉ bán số các hộp sơn là các số nguyên dương. Bạn Minh cần bao nhiêu triệu đồng để sơn bức tường đó?
Đáp án: 1,3.
Đồ thị hàm số \[f\left( x \right) = {a^x}\]\[\left( {0 < a \ne 1} \right)\] và đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = {\log _b}x\]\[\left( {0 < b \ne 1} \right)\]đối xứng nhau qua đường thẳng \[y = x\] nên \[a = b\].
Ta thấy đồ thị hàm số \[g\left( x \right) = {\log _b}x\]đi qua điểm \[B\left( {3;2} \right)\] nên suy ra \[b = \sqrt 3 \].
Vậy bạn Minh đã vẽ hai đồ thị của hàm số \[f\left( x \right) = {\sqrt 3 ^x}\]và \[g\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x\].
Ta có \[{\sqrt 3 ^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\sqrt 3 }}2\]\[ \Rightarrow {S_{{H_1}}} = \int\limits_{ - 3}^{{{\log }_{\sqrt 3 }}2} {\left( {2 - {{\sqrt 3 }^x}} \right)} \,{\rm{d}}x \approx 5,23{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].
Do đó cần mua 2 hộp sơn để sơn phần \[{H_1}\] với số tiền là \[2 \cdot 0,12 = 0,24\] (triệu đồng).
Ta có \[{\log _{\sqrt 3 }}x = - 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\]\[ \Rightarrow {S_{{H_3}}} = \int\limits_{\frac{1}{3}}^3 {\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}x + 2} \right)} \,{\rm{d}}x \approx 7,15{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].
Do đó cần mua 3 hộp sơn để sơn phần \[{H_3}\] với số tiền là \[3 \cdot 0,14 = 0,42\] (triệu đồng).
Ta có \[{S_{{H_2}}} = {S_{HCN}} - {S_{{H_1}}} - {S_{{H_2}}} \approx 6 \cdot 4 - 5,23 - 7,15 \Rightarrow {S_{{H_2}}} \approx 11,62{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].
Do đó cần mua 4 hộp sơn để sơn phần \[{H_2}\] với số tiền là \[4 \cdot 0,16 = 0,64\] (triệu đồng).
Vậy số tiền bạn Minh cần dùng để sơn bức tường đó là: \[0,24 + 0,42 + 0,64 = 1,3\] (triệu đồng).