Đáp án: 1191.

Hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có dạng \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\], \[\left( {a \ne 0} \right)\].

Ta có \[ON = OM + MN = 2 + 3,5 = 5,5\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].

Dựa vào hình vẽ đã cho, ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm \[O\left( {0;0} \right)\], \[M\left( {2;0} \right)\] và \[N\left( {5,5;0} \right)\].

Khi đó, phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có ba nghiệm phân biệt là \[x = 0;x = 2;x = 5,5\].

\[ \Rightarrow f\left( x \right) = kx\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5,5} \right)\]\[ = k\left( {{x^3} - 7,5{x^2} + 11x} \right)\] và từ đồ thị, ta thấy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = - \infty \] nên \[k < 0\].

Ta có \[f'\left( x \right) = k\left( {3{x^2} - 15x + 11} \right)\].

Xét \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow k\left( {3{x^2} - 15x + 11} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 15x + 11 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{15 \pm \sqrt {93} }}{6}\].

Độ sâu của hồ nước là \[450\,\,{\rm{m}} = 0,45\,\,{\rm{km}}\] nên ta có giá trị cực tiểu của đồ thị hàm số trên là\[{y_{CT}} = - 0,45\].

Suy ra, \[f\left( {\frac{{15 - \sqrt {93} }}{6}} \right) = - 0,45 \Leftrightarrow k \cdot \frac{{ - 135 + 31\sqrt {93} }}{{36}} = - 0,45 \Leftrightarrow k = \frac{{ - 16,2}}{{ - 135 + 31\sqrt {93} }}\].

Chiều cao của ngọn núi tương ứng với .

Vậy ngọn núi cao khoảng \[1191\,\,{\rm{m}}\].

Bán kính R của mặt cầu ( S ) bằng