Bạn Hải có một tấm bìa hình vuông cạnh \(40\) cm. Bạn muốn cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông nhỏ bằng nhau để gấp

Chọn C

Gọi \(x\) (cm) là độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt ở bốn góc (\(x > 0\)).
Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ ở bốn góc và gấp lại, ta được một hộp hình hộp chữ nhật không có nắp.
Chiều cao của hộp là \(x\) cm.
Cạnh của đáy hộp (hình vuông) là \(40 - 2x\) cm.
Điều kiện để cạnh đáy và chiều cao có nghĩa là: \(x > 0\) và \(40 - 2x > 0 \Rightarrow 2x < 40 \Rightarrow x < 20\)
Vậy miền xác định của \(x\) là \((0;20)\).
Thể tích của hộp là \(V(x) = {(40 - 2x)^2} \cdot x\)
\(V(x) = (1600 - 160x + 4{x^2})x = 4{x^3} - 160{x^2} + 1600x\)
\(V'(x) = 12{x^2} - 320x + 1600\)
Cho \(V'(x) = 0\)\( \Leftrightarrow 12{x^2} - 320x + 1600 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{20}}{3}\left( {TM} \right)\\x = 20\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).
\(V''(x) = 24x - 320\)
\(V''\left( {\frac{{20}}{3}} \right) = 24\left( {\frac{{20}}{3}} \right) - 320 = - 160\)
Vì \(V''\left( {\frac{{20}}{3}} \right) < 0\), nên thể tích \(V(x)\) đạt cực đại tại \(x = \frac{{20}}{3}\).
Vậy để hộp có thể tích lớn nhất thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt là \(\frac{{20}}{3}\) cm.