Bạn An có một hộp bút màu gồm 6 màu khác nhau. Bạn muốn dùng các bút màu này để tô màu cho 6 hình tròn nằm trên các đỉnh của một lục giác đều ABCDEF. Bên trong lục giác đều này có thêm các đư
18/22
Bạn An có một hộp bút màu gồm 6 màu khác nhau. Bạn muốn dùng các bút màu này để tô màu cho \(6\) hình tròn nằm trên các đỉnh của một lục giác đều \(ABCDEF\). Bên trong lục giác đều này có thêm các đường thẳng nối với nhau tạo thành hai tam giác đều \(ACE\) và \(BDF\) (như hình vẽ) . Biết rằng khi tô màu thì hai đỉnh bất kỳ có đường nối trực tiếp với nhau thì không được tô cùng màu (màu sắc ở các đỉnh không kề nhau có thể được lặp lại). Hỏi bạn An có tất cả bao nhiêu cách để tô màu cho các hình tròn đó?
Tô màu cho ba đỉnh \(A,C,E\) và ba đỉnh này nối với nhau từng đôi một nên bắt buộc ba đỉnh này phải tô ba màu khác nhau
Số cách tô màu cho tam giác \(ACE\) là: \(6.5.4 = 120\) (cách)
Giả sử, tô ba màu cho các đỉnh \(A,C,E\) lần luợt là màu đỏ, xanh và vàng (gọi là nhóm màu cũ)
Lúc này, trong hộp bút còn lại ba màu chưa dùng (gọi là nhóm màu mới)
Tiếp theo ta tiến hành tô màu cho ba đỉnh còn lại là \(B,E,F\)
Với đỉnh \(B\) nằm giữa \(A\)(đỏ) và \(C\)(xanh) thì đỉnh \(B\) không được tô hai màu này
Nếu \(B\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu vàng còn nếu dùng màu mới thì thoải mái chọn
Với đỉnh \(D\) nằm giữa \(C\)(xanh) và \(E\)(vàng) thì đỉnh \(D\) không được tô hai màu này
Nếu \(D\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu đỏ
Với đỉnh \(F\) nằm giữa \(E\)(vàng) và \(A\)(đỏ) thì đỉnh \(F\) không được tô hai màu này
Nếu \(F\) dùng màu cũ thì chỉ được dùng màu xanh
Lưu ý: Ba đỉnh \(B,D,F\) cũng tạo thành tam giác nên chúng phải khác màu nhau nên ta xét các trường hợp có bao nhiêu màu mới được sử dụng
Trường hợp 1: Dùng cả ba màu mới cho \(B,D,F\) có \(3! = 6\)(cách)
Trường hợp 2: Dùng \(2\) màu mới và \(1\) màu cũ
Nếu đỉnh \(B\) tô màu cũ thì bắt buộc phải là màu vàng, hai đỉnh \(D,F\) lấy hai màu mới từ \(3\) màu mới có \(A_3^2 = 6\)(cách), tương tự cho hai đỉnh còn lại mỗi đỉnh có \(6\) cách
Vậy tổng trường hợp này có \(6 + 6 + 6 = 18\) cách
Trường hợp 3: Dùng \(1\) màu mới và \(2\) màu cũ
Nếu đỉnh \(B\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(B\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(D\) dùng màu đỏ, \(F\) dùng màu xanh nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Nếu đỉnh \(D\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(D\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(B\) dùng màu vàng, \(F\) dùng màu xanh nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Nếu đỉnh \(F\) tô màu mới thì có \(3\) cách chọn màu mới cho \(F\), hai đỉnh còn lại phải dùng màu cũ thì \(B\) dùng màu vàng, \(D\) dùng màu đỏ nên số cách là \(3.1 = 3\)(cách)
Vậy tổng số cách trong trường hợp này là: \(3 + 3 + 3 = 9\) cách
Trường hợp 4: Dùng cả ba màu cũ chỉ có 1 cách duy nhất là \(B\) tô màu vàng, \(D\) tô màu đỏ, \(F\) tô màu xanh
Suy ra số cách tô màu hợp lệ cho bộ ba \(\left( {B,D,F} \right)\) là \(6 + 18 + 9 + 1 = 34\)(cách)
Vậy số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(120.34 = 4080\)(cách)