Bài toán phương trình bậc hai

Vì \(x =  - \sqrt 3 \) là nghiệm của phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\) nên ta có:

\({\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} + 4\left( { - \sqrt 3 } \right) + m = 0\)

\( \Rightarrow m = 4\sqrt 3  - 3\)

Với \(m = 3\) phương trình đã cho trở thành: \({x^2} + 4x + 4\sqrt 3  - 3 = 0\)

\(\Delta {\rm{'}} = {\left( {b{\rm{'}}} \right)^2} - ac\) \( = {2^2} - 4\sqrt 3  + 3\)\( = 7 - 4\sqrt 3  > 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:\({x_1} + {x_2} =  - 4\); \({x_1}.{x_2} = 4\sqrt 3  - 3\)

Vậy tổng các nghịch đảo hai nghiệm của phương trình là:

\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\)\( = \frac{{ - 4}}{{4\sqrt 3  - 4}}\)\( = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3  - 1}}\)\( = \frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}\).