Bác Tuấn trang trí bức tường hình vuông ABCD có AB = 4m như hình vẽ bằng cách sơn màu. Trong đó, bốn đường cong AQB, APD, BEC, CFD đều là đường parabol có các đỉnh lần lượt là Q, P, E, F.
17/22
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Bác Tuấn trang trí bức tường hình vuông \(ABCD\) có \(AB = 4m\) như hình vẽ bằng cách sơn màu. Trong đó, bốn đường cong \(AQB,APD,BEC,CFD\) đều là đường parabol có các đỉnh lần lượt là \(Q,P,E,F\). Biết rằng trục đối xứng của mỗi Parabol trùng với một trục đối xứng của hình vuông \(ABCD\). Cho biết \(OE = OF = OP = OQ = 1m\). Phần diện tích giới hạn bởi bốn đường Parabol nêu trên (phần gạch chéo) được sơn màu đỏ với chi phí \(500\) nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Phần diện tích còn lại của bức tường được sơn màu trắng với chi phí \(300\) nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Tính tổng số tiền (đơn vị: nghìn đồng) bác Tuấn cần để hoàn thành việc sơn bức tường đó. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 6129
Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ và phương trình các đường
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc \(O\) là tâm hình vuông. Tọa độ các đỉnh: \(A\left( { - 2;2} \right),D\left( {2;2} \right),C\left( {2; - 2} \right),B\left( { - 2; - 2} \right)\).
Parabol E có đỉnh \(E\left( {0;1} \right)\) đi qua \(C\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 2} \right)\): \(y = - \frac{3}{4}{x^2} + 1\).
Parabol P có đỉnh \(P\left( {0; - 1} \right)\) đi qua \(D\left( {2;2} \right)\) và \(A\left( { - 2;2} \right)\): \(y = \frac{3}{4}{x^2} - 1\).
Đường thẳng đối xứng: \(y = x\).
Xác định các giao điểm:
Giao điểm của Parabol \(E\) và \(y = x\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = x \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\).
Giao điểm của Parabol \(E\) và Parabol \(P\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = \frac{3}{4}{x^2} - 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2}{x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Bước 2: Tính diện tích miền \(H\) (\(1/8\) phần gạch chéo)
Diện tích miền \(H\) được tính theo công thức \(\)
Tích phân thứ nhất \(\left( {{S_{H1}}} \right)\): \({S_{H1}} = \int_{2/3}^{2/\sqrt 3 } {\left[ {x - \left( { - \frac{3}{4}{x^2} + 1} \right)} \right]} dx \approx 0,267...\)\(\)
Tích phân thứ hai \(\left( {{S_{H2}}} \right)\): \({S_{H2}} = \int_{2/\sqrt 3 }^2 {\left[ {x - \left( {\frac{3}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]} dx \approx 0,563...\)\(\)
Nên \[{S_H} = {S_{H1}} + {S_{H2}} \approx 0,831\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]\(\)
Bước 3: Tính tổng diện tích và chi phí
Diện tích phần sơn màu đỏ: \({S_D} = 8 \times {S_H} \approx 6,646...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích phần sơn màu trắng: \({S_T} \approx 16 - {S_D} = 9,35...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Tổng số tiền bác Tuấn cần:
\(T \approx {S_D} \times 500 + {S_T} \times 300 \approx 6129\).
Làm tròn đến hàng đơn vị, bác Tuấn cần 6129 nghìn đồng.