Bác Quang xây nhà mới và muốn làm một cửa sổ như hình bên (phần nét liền), bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm là trung điểm của cạnh hình chữ nhật. Bác dự định làm tổng

Gọi bán kính nửa đường tròn là \(r\,\,\left( {\rm{m}} \right)\), chiều cao hình chữ nhật là \(h\,\,\left( {\rm{m}} \right)\,\,\left( {r > 0,\,h > 0} \right)\).

Khi đó, chiều rộng của hình chữ nhật là \(2r\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Tổng độ dài đường viền của cửa sổ gồm hai cạnh bên, cạnh đáy và cung nửa đường tròn nên:

\(2h + 2r + \pi r = 6\)

Suy ra \(h = \frac{{6 - \left( {2 + \pi } \right)r}}{2}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích của sổ là \(S = 2rh + \frac{1}{2}\pi {r^2}\).

Thay \(h = \frac{{6 - \left( {2 + \pi } \right)r}}{2}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) được \(S = 2r\frac{{6 - \left( {2 + \pi } \right)r}}{2}\, + \frac{1}{2}\pi {r^2}\)4

\(S = 6r - \left( {2 + \pi } \right){r^2}\, + \frac{1}{2}\pi {r^2}\)

\(S = 6r - \left( {2 + \frac{1}{2}\pi } \right){r^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\) ta đătk \(k = 2 + \frac{\pi }{2} = \frac{{4 + \pi }}{2}\).

Khi đó, \(S = 6r - k{r^2} = r\left( {6 - kr} \right) = \frac{1}{k} \cdot \left( {kr} \right) \cdot \left( {6 - kr} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(kr;\,\,\left( {6 - kr} \right)\), có:

\(kr \cdot \left( {6 - kr} \right) \le {\left( {\frac{{kr + 6 - kr}}{2}} \right)^2}\) hay \(kr \cdot \left( {6 - kr} \right) \le 9\)

Suy ra \(\frac{1}{k} \cdot \left( {kr} \right) \cdot \left( {6 - kr} \right) \le \frac{1}{k} \cdot 9 = \frac{9}{{\frac{{\pi + 4}}{2}}} = \frac{{18}}{{\pi + 4}}\) hay \(S \le \frac{{18}}{{\pi + 4}}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(kr = 6 - kr\) hay \(kr = 3\), suy ra \(r = \frac{3}{k} = \frac{6}{{4 + \pi }}\).

Khi đó \(2h = 6 - \left( {\pi + 2} \right) \cdot \frac{6}{{\pi + 4}} = \frac{{12}}{{4 + \pi }}\) (thỏa mãn)

Vậy diện tích lớn nhất của cửa sổ là \(\frac{{18}}{{\pi + 4}}\,\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).