Bác Lâm muốn gò một cái thùng bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông và đựng đầy được 32 lít nước

a) Đúng. Thể tích của thùng: \(V = x.x.h = {x^2}h\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

b) Đúng. Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là:

 S = 4 ∙ Diện tích một mặt bên + Diện tích đáy

                               \( = 4.h.x + x.x = 4hx + {x^2}{\rm{\;}}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

c) Sai. Ta có: \(V = 32 = {x^2}h \Leftrightarrow h = \frac{{32}}{{{x^2}}}\).

Do đó \(S\left( x \right) = 4hx + {x^2} = 4.\frac{{32}}{{{x^2}}}.x + {x^2} = \frac{{128}}{x} + {x^2}\).

Suy ra \(S'\left( x \right) =  - \frac{{128}}{{{x^2}}} + 2x\).

d) Đúng. Để làm được cái thùng ít tốn nguyên liệu nhất thì \(S\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{{128}}{{{x^2}}} + 2x = 0 \Leftrightarrow  - 128 + 2{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 4\).

Bảng biến thiên:

\(S\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 4\).