Bác Hùng có kế hoạch dùng hết 20 m^ 2kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp ba chiều rộng (các mối ghép không đáng kể).

Đáp số: 7,5.

Giả sử hình hộp chữ nhật có chiều rộng của đáy là x, chiều dài của đáy là 3 x, chiều cao là y (đơn vị \({\rm{m}},{\rm{x}} > 0,{\rm{y}} > 0\) ).

Ta có: \(3x \cdot x + 2 \cdot x \cdot y + 2 \cdot 3x \cdot y = 20\), tức là \(3{x^2} + 8xy = 20,y = \frac{{20 - 3{x^2}}}{{8x}}.\)

Thể tích của bể cá là \(V = 3{\rm{x}} \cdot {\rm{x}} \cdot {\rm{y}} = 3{\rm{x}} \cdot {\rm{x}} \cdot \frac{{20 - 3{{\rm{x}}^2}}}{{8{\rm{x}}}} = \frac{3}{8}\left( { - 3{{\rm{x}}^3} + 20{\rm{x}}} \right).\)

\(f(x) = \frac{3}{8}\left( { - 3{x^3} + 20x} \right),0 < x < \sqrt {\frac{{20}}{3}} .\)

\({f^\prime }(x) = \frac{3}{8}\left( { - 9{x^2} + 20} \right),{f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}.\)

Lập bảng biến thiên của hàm số trên \(\left( {0;\sqrt {\frac{{20}}{3}} } \right)\), thể tích có giá trị lớn nhất là \(\frac{3}{8}\left[ { - 3 \cdot {{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{3}} \right)}^3} + 20 \cdot \left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{3}} \right)} \right] = \frac{{10\sqrt 5 }}{3} \approx 7,5\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right).\)