Bác Ba xây một chiếc cổng hình Parabol và gắn cửa hình chữ nhật bên dưới cổng (như hình vẽ). Biết chiều cao của cổng là 3m và biết cánh cửa có chiều cao 2m, chiều rộng 3m. Hỏi khoảng cách giữ

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho:

Gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) nằm trên mặt đất tại vị trí chính giữa của cổng.

Trục tung \(Oy\) đi qua đỉnh \(G\) của cổng Parabol \( \Rightarrow G\left( {0;3} \right)\).

Trục hoành \(Ox\) trùng với mặt đất \(AB\).

Phương trình cổng Parabol \(\left( P \right)\) có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\quad \left( {a < 0} \right)\).

Do Parabol nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng nên \({x_S} = - \frac{b}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\).

Đỉnh \(G\left( {0;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow c = 3\).

Do đó phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + 3\).

Vì mép cửa hình chữ nhật rộng \(3{\rm{\;m}}\), cao \(2{\rm{\;m}}\) và nằm cân đối hai bên trục \(Oy\), nên mép trên góc phải của cửa có tọa độ là: \(E\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).

Do điểm \(E\left( {\frac{3}{2};2} \right) \in \left( P \right)\) nên ta có: \(2 = a{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + 3 \Rightarrow a = - \frac{4}{9}\).

Vậy phương trình của Parabol là: \(\left( P \right):y = - \frac{4}{9}{x^2} + 3\).

Tọa độ hai chân cổng \(A\) và \(B\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục hoành \(Ox\) (\(y = 0\)):

\( - \frac{4}{9}{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{9}{x^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{27}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó hoành độ của \(A\) và \(B\) lần lượt là \({x_A} = - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) và \({x_B} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Khoảng cách giữa hai chân cổng là độ dài đoạn \(AB\):

\(AB = {x_B} - {x_A} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right) = 3\sqrt 3 \approx 5,196{\rm{\;m}}\).

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được khoảng cách giữa hai chân cổng là \(5,2{\rm{\;m}}\).