Bác An dự định trồng dưa lê và dưa vàng trên đất nông nghiệp. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng dưa lê thì cần 20 công và thu được tiền lãi là 30 triệu đồng, nếu trồng dưa vàng thì cần 30 công

Gọi \(x,y\) lần lượt là diện tích đất trồng dưa lê và dưa vàng (đơn vị: ha, \(x \ge 0,y \ge 0\)).

Từ giả thiết, ta có hệ bất phương trình giới hạn:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 8}\\{20x + 30y \le 180}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 8}\\{2x + 3y \le 18}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của hệ là một đa giác với các đỉnh: \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {8;0} \right)\), \(B\left( {6;2} \right)\) (giao điểm của \(x + y = 8\) và \(2x + 3y = 18\)), và \(C\left( {0;6} \right)\).

Hàm tiền lãi thu được là: \(F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y\) (triệu đồng).

Ta tính giá trị của \(F\left( {x,y} \right)\) tại các đỉnh:

Tại \(O\left( {0;0} \right)\): \(F\left( {0,0} \right) = 0\)

Tại \(A\left( {8;0} \right)\): \(F\left( {8,0} \right) = 30 \cdot 8 = 240\)

Tại \(B\left( {6;2} \right)\): \(F\left( {6,2} \right) = 30 \cdot 6 + 40 \cdot 2 = 180 + 80 = 260\)

Tại \(C\left( {0;6} \right)\): \(F\left( {0,6} \right) = 40 \cdot 6 = 240\)

Vậy số tiền lãi lớn nhất bác An có thể thu được là \(260\) triệu đồng.

Đáp số: \(260\)