Bác An có một thanh sắt dài 20 m. Bác muốn dùng thanh sắt đó làm thành khung có dạng một hình chữ nhật và nửa đường tròn như hình vẽ. Hỏi Bác phải uốn khung đó có kích thước như thế nào để di

Gọi \[r,\,\,h\,\,({\rm{m}})\] lần lượt là bán kính của nửa đường tròn và chiều dài hình chữ nhật \[\left( {0 < r\,;\,\,h < 12} \right)\]

Ta có \(\pi r + 2h + 4\pi = 20\)

\(h = \frac{{20 - \pi r - 4\pi }}{2} = 10 - 2\pi - \frac{{\pi r}}{2}\)

\(S = 2rh + \frac{{\pi {r^2}}}{2} = 2r\left( {10 - 2\pi - \frac{{\pi r}}{2}} \right) + \frac{{\pi {r^2}}}{2} = 20r - \frac{{8 + \pi }}{2}{r^2}\)

Đặt \({a^2} = \frac{{8 + \pi }}{2}\).

Ta có: \(S = {\left( {{\rm{ar}} - \frac{{10}}{a}} \right)^2} + \frac{{100}}{{{a^2}}} \le \frac{{100}}{{{a^2}}} = \frac{{200}}{{8 + \pi }} \approx 17,95\)

Dấu “=” xảy ra khi \[ar = \frac{{10}}{a}\] suy ra \[r = \frac{{10}}{{{a^2}}} = \frac{{20}}{{8 + \pi }} \approx 1,8\].

Khi đó \(h = 3,574\)

Vậy cần uốn khung có chiều dài hcn là \[3,574\,\,{\rm{m}},\] bán kính đường tròn là \[1,8\,\,{\rm{m}}\] thì diện tích khung làm lớn nhất.