Ba tia O x , O y , O z đôi một vuông góc, C là một điểm cố định trên O z , đặt O C = 1 . A , B thay đổi trên O x , O y sao cho O A + O B = O C . Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính

90/100

Ba tia $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc, $C$ là một điểm cố định trên $Oz$, đặt $OC = 1$. $A,B$ thay đổi trên $Ox,Oy$ sao cho $OA + OB = OC$. Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.

$\frac{{\sqrt 6 }}{4}$

$\frac{{\sqrt 6 }}{3}$

$\frac{{\sqrt 6 }}{2}$

$\sqrt 6 $

Giải thích

Phương pháp giải

- Xác định trục của đường tròn đáy.

- Xác định tâm mặt cầu.

- Tính bán kính mặt cầu theo ${\rm{OA}}$ và ${\rm{OB}}$.

- Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {(ac + bd)^2}$

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Lời giải

$Ba tia $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc, $C$ là một điểm cố định trên $Oz$, đặt $OC = 1$. $A,B$ thay đổi trên $Ox,Oy$ sao cho $OA + OB = OC$. Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$. A. $\frac{{\sqrt 6 }}{4}$ B. $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$ C. $\frac{{\sqrt 6 }}{2}$ D. $\sqrt 6 $ (ảnh 1)$

* Dựng trục $d$ của

$ \Rightarrow d\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\;qua\;}}H}\\{d \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow d//OC}\end{array}} \right.$ (với $H$ là trung điểm của $AB$)

* Kẻ trung trực ${\rm{\Delta }}$ của $OC$ trong mặt phẳng $\left( {OCH} \right)$ (${\rm{\Delta }}$ qua trung điểm ${\rm{M}}$ của ${\rm{OC}}$)

$ \Rightarrow {\rm{\Delta }} \cap d = I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$

* $R = IO = \sqrt {I{H^2} + H{O^2}} $

+ $IH = MO = \frac{1}{2}OC = \frac{{OC}}{2}$

+ $HO = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} $

$ \Rightarrow R = \sqrt {\frac{{O{C^2}}}{4} + \frac{{O{A^2} + O{B^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}} $$ = \underbrace {\frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2} + 1} }_{\min }$

(Với $OA + OB = OC = 1$)

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {(ac + bd)^2}$

Dấu "$ = $" xảy ra khi $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

$ \Rightarrow \left( {O{A^2} + O{B^2}} \right)\left( {{1^2} + {1^2}} \right) \ge \underbrace {\left( {OA\mathop + \limits^2 OB} \right)}_{ = 1}$

$ \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} \ge \frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{1} \Rightarrow OA = OB = \frac{1}{2}$

$ \Rightarrow {R_{{\rm{min}}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 1} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$.

Chọn A