Ba số dương x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai dương và có tổng bằng 30. Biết x + 2; y + 2; z + 18 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Xét tính đúng sai của các khẳn

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo tính chất của cấp số cộng, ta có x + z = 2y.

Kết hợp với giả thiết x + y + z = 30, suy ra 3y = 30 ⇔ y = 10.

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y - d = 10 - d và z = y + d = 10 + d (d > 0).

x + 2; y + 2; z + 18 là cấp số nhân hay 12 - d; 12, 28 + d.

Áp dụng tính chất của cấp số nhân, ta có:

(12 - d)(28 + d) = 12² ⇔ d² + 16d - 192 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = - 24\end{array} \right. \Rightarrow d = 8\,\,\,\left( {d > 0} \right) \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {2;10;18} \right)\).

Do đó x + 2 = 4, y + 2 = 12; z + 18 = 36. Do đó: dãy số 4, 12, 36 là cấp số nhân với u₁ = 4 và công bội q = 3.

b) Đúng. Ta có: T = x² + z² = 2² + 18² = 328.

c) Đúng. Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_5} = 4 \cdot \frac{{{3^5} - 1}}{{3 - 1}} = 484\).

d) Sai. Ta có: u₈ = u₁q⁷ = 43⁷ = 8748.

Vậy số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 6561.