Ba số có tổng là 217 là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân; hoặc là các số hạng thứ 2

Gọi cấp số cộng có số hạng đầu là \({u_1}\), công sai là \(d \ne 0\).

Vì ba số là các số hạng thứ 2 , thứ 9 và thứ 44 nên ba số đó lần lượt là \({u_1} + d,{u_1} + 8d,{u_1} + 43d\).

Ba số đó có tổng là 217 nên \(\left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 8d} \right) + \left( {{u_1} + 43d} \right) = 3{u_1} + 52d = 217\).

Ba số đó là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên

\(\left( {{u_1} + 43d} \right)\left( {{u_1} + d} \right) = {\left( {{u_1} + 8d} \right)^2} \Leftrightarrow 28{u_1}d = 21{d^2} \Leftrightarrow {u_1} = \frac{3}{4}d\).

Từ đây suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 3}\\{d = 4.}\end{array}} \right.\)

\({S_k} = 741 \Leftrightarrow \frac{k}{2}\left[ {2.3 + \left( {k - 1} \right).4} \right] = 741 \Leftrightarrow k = 19\) (vì \(k\) là số tự nhiên).