Bà Bích xin một “chữ Tâm” được sơn son thếp vàng trong một hình chữ nhật A B C D kích thước 20 c m × 40 c m

20/22

Bà Bích xin một “chữ Tâm” được sơn son thếp vàng trong một hình chữ nhật \[ABCD\] kích thước \[20{\rm{ cm}} \times 40{\rm{ cm}}{\rm{.}}\] Bà treo bức tranh này trên tường trong phòng khách của Bà. Để tăng điểm nhấn cho bức tranh, Bà trang trí một khung hình cách điệu hình chữ nhật \[MNPQ\] sao cho các điểm \[A,B,C,D\] lần lượt thuộc các cạnh \[QM,MN,NP,PQ\] (xem hình vẽ). Lúc này, Bà cần tính toán phần diện tích chiếm chỗ của hình chữ nhật \[MNPQ\] trên tường nhà sao cho cân đối nhất. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \[MNPQ\] là bao nhiêu centimet vuông?

$Bà Bích xin một “chữ Tâm” được sơn son thếp vàng trong một hình chữ nhật \[ABCD\] kích thước \[20{\rm{ cm}} \times 40{\rm{ cm}}{\rm{.}}\] (ảnh 1)$

Giải thích

Xét hai tam giác vuông $ADQ,BAM$ có

$Bà Bích xin một “chữ Tâm” được sơn son thếp vàng trong một hình chữ nhật \[ABCD\] kích thước \[20{\rm{ cm}} \times 40{\rm{ cm}}{\rm{.}}\] (ảnh 2)$ $Bà Bích xin một “chữ Tâm” được sơn son thếp vàng trong một hình chữ nhật \[ABCD\] kích thước \[20{\rm{ cm}} \times 40{\rm{ cm}}{\rm{.}}\] (ảnh 3)$

Dễ dàng chứng minh các tam giác $ABM,BCN,CDP,DAQ$ đồng dạng và $\Delta ADQ = \Delta CBN,\Delta ABM = \Delta DCP$ (vì có cạnh huyền bằng nhau).

Cách 1.

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất khi và chỉ khi tổng diện tích của 4 tam giác vuông $ABM,BCN,CDP,DAQ$ lớn nhất hay $S = {S_{\Delta ADQ}} + {S_{\Delta ABM}}$ lớn nhất.

Ta có tỉ số đồng dạng. $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{40}}{{20}} = 2 \Rightarrow {S_{\Delta ADQ}} = 4{S_{\Delta BAM}}.$

Vậy diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất khi và chỉ khi ${S_{\Delta ABM}}$ lớn nhất.

Ta lại có ${S_{\Delta ABM}} = \frac{1}{2}AB.{\rm{d}}(M,AB)$ nên ${S_{\Delta ABM}}$ lớn nhất khi ${\rm{d}}(M,AB)$ lớn nhất hay $\Delta ABM$ vuông cân. Khi đó.

$\begin{array}{l}{S_{MNPQ}} & = 2\left( {{S_{\Delta ABM}} + {S_{\Delta ADQ}}} \right) + {S_{ABCD}} = 10{S_{\Delta ABM}} + {S_{ABCD}}\\ & = 10.\frac{1}{4}A{B^2} + AB.AD = 10.\frac{1}{4}{.20^2} + 20.40 = 1800{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\end{array}$

Cách 2.

Đặt $x = \widehat {DAQ}.$ Khi đó. $AQ = 40\cos x;AM = 20\sin x;MB = 20\cos x;BN = 40\sin x.$

Ta có. $MQ = AM + AQ = 20\sin x + 40\cos x;MN = MB + BN = 20\cos x + 40\sin x.$

$\begin{array}{l}{S_{MNPQ}} & = MQ.MN = (20\sin x + 40\cos x)(40\sin x + 20\cos x)\\ & = 800{\sin ^2}x + 400\sin x.\cos x + 1600\cos x.\sin x + 800{\cos ^2}x\\ & = 800 + 1000\sin 2x \le 800 + 1000.1 = 1800 & {\rm{(c}}{{\rm{m}}^2}).\end{array}$

Vậy hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất là $1800{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$.