b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K. Gọi giao điểm của KA,KB với DC lần lượt là M và N. Tìm giá trị lớn nhất của

b) Ta có:  MKN^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  ⇒KMN^+KNM^=90°.        (1)

Trong tam giác vuông EMA có:  EAM^+EMA^=90°.                    (2)

Mà  KMN^=EMA^ (đối đỉnh);  KMN^=BNF^ (đối đỉnh).                  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  EAM^=BNF^.

Xét  ΔAEM và  ΔNFB có:  AEM^=BFC^=90° (giả thiết)

                              EAM^=BNF^ (chứng minh trên).

  ⇒ΔAEM~ΔNFBg.g⇒EMFB=AENF⇒EM.NF=AE.BF (không đổi).

Lại có:  MN=EF−EM+NF.

Do đó MN lớn nhất khi và chỉ khi EM+NF nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  EM+NF≥2EM.NF=2AE.BF.

Đẳng thức xảy ra khi  EM=FN=AE.BF.

Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng  EF−2AE.BF.