b) Tìm hệ số của x^6 trong khai triển (1 - x^2)^5

Hướng dẫn giải

a) Gọi số vận động viên nam là \(n\) (vận động viên) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là \(2.C_n^2 = n(n - 1)\).

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là \(C_2^1.C_n^2.2 = 4n\).

Khi đó ta có \(n\left( {n - 1} \right) - 4n = 84 \Rightarrow n = 12\) (loại \(n =  - 7\)).

Vậy tổng số ván các vận động viên chơi là \(2.C_{14}^2 = 182\).

b) Ta có khai triển của \({\left( {1 - {x^2}} \right)^5}\) là:

\({\left( {1 - {x^2}} \right)^5} = C_5^0{1^5} - C_5^1{.1^4}.{x^2} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} - C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} - C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}\)

\( = 1 - 5{x^2} + 10{x^4} - 10{x^6} + 5{x^8} - {x^{10}}\).

Vậy hệ số của \({x^6}\) trong khai triển là  \( - 10\).