Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng không là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D (ảnh 1)

Gọi E là trung điểm của CM, G là trung điểm của DM. Khi đó EG là đường trung bình của ΔMCD⇒EG=12CD. 1

ΔCAM và ΔDBM cân tại C và D mà C^=D^ nên

các góc ở đáy của chúng bằng nhau:

CAM^=CMA^=DMB^=DBM^

=> CA // DM và CM // DB (vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau).

Xét ΔCMB có EF là đường trung bình => EF // MB.

Xét ΔDAM có HG là đường trung bình => HG // AM.

Suy ra: EF // HG (vì cùng song song với AB). Vậy tứ giác EFGH là hình thang.

Xét hình thang ACDM có EH là đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên EH // AC.

Tương tự, xét hình thang CDBM có: FG // DB.

Do đó EHG^=CAM^,FGH^=DBM^.

Mặt khác CAM^=DBM^ (chứng minh trên) nên EHG^=FGH^.

Vậy hình thang EFGH là hình thang cân => HF = EG

Từ (1) và (2) suy ra: HF=12CD.

b) EF có độ dài bằng nửa chu vi hình thang ABCD