b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của m để

b) Phương trình (1) có Δ=−m2−4m−4=m2−4m+16=m2−4m+4+12=m−22+12 ⇒Δ>0,∀m. Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=mx1x2=m−4

Ta có: 5x1−15x2−1=25x1x2−5x1−5x2+1

=25x1x2−5x1+x2+1

=25m−4−5m+1=20m−99

Theo đề bài, ta có: 5x1−15x2−1<0⇔20m−99<0⇔m<9920

Mà m là số nguyên dương nên m∈1;2;3;4 

Vậy m∈1;2;3;4.

Mở rộng:

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để x1<a<x2 thì

x1<ax2>a⇔x1−a<0x2−a>0⇔x1−ax2−a<0 

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để x1<x2<a thì

x1<ax2<a⇔x1−a<0x2−a<0⇔x1−ax2−a>0x1+x2<2a 

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để x2>x1>a thì

x1>ax2>a⇔x1−a>0x2−a>0⇔x1−ax2−a>0x1+x2>2a 

Các bước giải tiếp theo ta áp dụng định lí Vi – ét làm tương tự Ví dụ 4.