b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng y = x, tức là nếu điểm M nằm trên một đồ thị thì điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng y = x sẽ nằm trên đồ thị còn lại.

b) Xét điểm Ax0;ex0 nằm trên đồ thị hàm số y = e^x.

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm Ax0;ex0 và vuông góc với đường thẳng y = x có dạng :y=−x+x0+ex0 .

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng y = x.

Khi đó Bx0+ex02;x0+ex02 .

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = x. Khi đó B là trung điểm của AA’.

Do đó xA'=2xB−xAyA'=2yB−yA⇔xA'=2⋅x0+ex02−x0yA'=2⋅x0+ex02−ex0⇔xA'=ex0yA'=x0 . Vậy A'ex0;x0.

Thay tọa độ điểm A'ex0;x0 vào hàm số y = ln x, ta được x0=lnex0 (luôn đúng),

Vậy  A'ex0;x0 thuộc đồ thị hàm số y = ln x.

Tương tự, nếu B(x₀; ln x₀) nằm trên đồ thị hàm số y = ln x thì ta cũng tìm được điểm B’ đối xứng với B qua đường thẳng y = x và điểm B’ thuộc đồ thị hàm số y = e^x.

Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.