+ Chứng minh BIHK là hình bình hành.

Gọi J là giao điểm của AN và BC.

Ta có: sdAM⏜=sdMB⏜ (cmt)

⇒ACM^=BCM^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

⇒CM là phân giác của ACB^

⇒CI là phân giác trong của △CAJ

⇒IAIJ=CACJ (1)

Ta có: sdAM⏜=sdMB⏜ (cmt)

⇒ANM^=BNM^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

⇒NM là phân giác của ANB^.

⇒NH là phân giác trong của △NAB

⇒HAHB=NANB (2)

Ta có: sdBN⏜=sdNC⏜

⇒BAN^=CAN^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Xét △CAJ và △NAB ta có:

- ACJ^=ANB^ (hai góc nội tiếp cùng chắn AB⏜)

- BAN^=CAJ^ (cmt)

⇒△CAJ~△NABg-g

⇒CANA=CJNB⇒CACJ=NANB (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra IAIJ=HAHB

⇒HI∥BJ (định lí Thales đảo) hay ⇒HI∥BJ (4)

Chứng mình tương tự các ý ở trên, ta được KI//BH (5)

Từ (4) và (5) suy ra BHIK là hình bình hành.

+ Chứng minh BH=BK.

Ta có : △KBN~△BMN (cmt) ⇒BKBM=BNMN⇒BK=BM.BNMN (6)

Chứng minh tương tự câu b) ta có: △HMB~△BMNg-g

⇒BHBN=BMMN⇒BH=BM.BNMN (7)

Từ (6) và (7) suy ra BH=BK

Mà BHIK là hình bình hành nên BHIK là hình thoi.

b) Chứng minh AI.AK=AH.AB