Cho hình thang ABCD cân, đáy nhỏ AB và đáy lớn CD. Góc nhọn hợp bởi hai đường chéo AC, BD bằng 60 độ. Gọi M và N là hình chiếu của B và C lên AC và BD (ảnh 1)

Xét tam giác ΔADC và ΔDBC có DC chung, D^=C^(gt), AD = BC (gt).

Suy ra: ΔADC=ΔDBCc.g.c nên BCD^=ADC^( Cạnh tương ứng).

⇒ODC^=OCD^⇒ΔOCD là tam giác cân, mà góc DOC^=60°.

=> ⇒ΔOCD là tam giác đều.

Tương tự tam giác OAB là tam giác đều.

Ta có ΔOCD, ΔOAB là các tam giác đều, BM, CN là các đường cao nên là trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm OA, N là trung điểm OD. Do đó MN là đường trung bình của tam giác OAD ⇒MN=12AD (1)

Mặt khác PM, PN là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông △MBC và △NBC nên PM=PN=12BC (2)

Mà AD = BC (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra: PM = PN = MN. Vậy tam giác MNP là tam giác đều.

b. AE = MC