Anh Việt có một tấm nhôm hình tam giác đều ABC với cạnh bằng 6 dm . Bên trong tấm nhôm này, anh vẽ thêm tam giác đều DEF sao cho hai tam giác có cùng trọng tâm, đồng thời các cạnh tương
15/22
Anh Việt có một tấm nhôm hình tam giác đều \(ABC\) với cạnh bằng \(6\,dm\). Bên trong tấm nhôm này, anh vẽ thêm tam giác đều \[DEF\] sao cho hai tam giác có cùng trọng tâm, đồng thời các cạnh tương ứng song song nhau. Anh Việt muốn làm một chậu đựng nước dạng hình chóp cụt tam giác đều với đáy nhỏ là \[DEF\] và đáy lớn để hở.
Anh cắt bỏ ba hình bình hành ở ba góc của tam giác \(ABC\) là \(AMDN\), \(BPEQ,\,\,CSFR\) (như hình). Kẻ đường cao \(AH\) và gọi \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Đặt \(x = DN = DM\,\,\,(0 < x < 2)\).
[NB] \(NP = QR = SM = 6 - 2x\,(dm)\).
[NB] \(AH = 3\sqrt 3 \,(dm)\) và \(OA = 2\sqrt 3 \,(dm)\).
[TH] \(AD = x\sqrt 3 \,(dm)\) và \(DE = 6 - 3x\,(dm)\).
[VD] Sau khi gập hình và dùng kéo dán kín các đoạn gập vào nhau gồm \(DM\) với \(DN,\,EP\) với \(EQ,\,\,FS\) với \(FR\), sức chứa tối đa của chậu xấp xỉ \(4,54\) (lít) .
a) Đúng
Ta có \(NP = QR = SM = AB - AN - BP = 6 - 2x\,(dm)\).
b) Đúng
Do tam giác \(ABC\) với cạnh bằng \(6\,dm\), nên \(AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}} = 3\sqrt 3 \,(dm)\)
Và \(OA = \frac{2}{3}AH = 2\sqrt 3 \,(dm)\).
c) Đúng
Do \(AMDN\) là hình thoi cạnh \(x\) và \(\widehat {MAN} = {60^o}\),
Nên \(AD = \sqrt {A{N^2} + N{D^2} - 2AN.DN.cos{{120}^o}} = x\sqrt 3 \,(dm)\)
Lại có tam giác \(CMQ\) đều cạnh \(6 - x\,(dm)\)
Vậy \(DE = MQ - QE - DM = 6 - x - x - x = 6 - 3x\,(dm)\).
d) Đúng
Ta có chóp cụt đều \(MPSDEF\) với cạnh đáy lớn \(MP = 6 - 2x\) và cạnh đáy nhỏ là \(DE = 6 - 3x\)
+) Ta có \({S_1} = {S_{DEF}} = \frac{{{{(6 - 3x)}^2}\sqrt 3 }}{4}\,(d{m^2})\).
+) Ta có \({S_2} = {S_{MPS}} = \frac{{{{(6 - 2x)}^2}\sqrt 3 }}{4}\,(d{m^2})\).
+) Ta có \(\sqrt {{S_1}{S_2}} = \sqrt {\frac{{{{(6 - 2x)}^2}\sqrt 3 }}{4} \times \frac{{{{(6 - 3x)}^2}\sqrt 3 }}{4}} = \frac{{(6 - 3x)(6 - 2x)\sqrt 3 }}{4}\,(d{m^2})\).
Kẻ \(DK \bot MG\,(K \in MG)\).
Ta tính \(h = OG = DK = \sqrt {M{D^2} - M{K^2}} \)
+) Ta có \(MD = x,\,\,MK = MG - KG = MG - DO = \frac{2}{3}\left( {6 - 2x} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{2}{3}\left( {6 - 3x} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow h = OG = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\,(dm)\)
Thể tích chóp cụt đều bằng
\(\begin{array}{l}V = \frac{h}{3}\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}{S_2}} } \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt 6 }}{{3.3}}\left( {\frac{{{{(6 - 3x)}^2}\sqrt 3 }}{4}\, + \frac{{{{(6 - 2x)}^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{(6 - 3x)(6 - 2x)\sqrt 3 }}{4}} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {18} }}{{36}}\left( {19{x^3} - 90{x^2} + 108x} \right)\end{array}\)
Dùng casio xét trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), ta có \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;2} \right)} V \approx 4,54\,(d{m^3})\).