Anh Nghĩa có một khu đất hình thang vuông ABCD với AB = 100 ( m ) , DC = 60 ( m ) và A D = 40 ( m ) . Anh ấy đã đào một cái hồ để nuôi cá, hồ được bao bởi cạnh AB , biết rằng ( H ) ch
20/22
Anh Nghĩa có một khu đất hình thang vuông \(ABCD\) với \(AB = \,100\left( m \right),\,DC = 60\left( m \right)\) và \(AD = 40\,\left( m \right)\). Anh ấy đã đào một cái hồ để nuôi cá, hồ được bao bởi cạnh \(AB\), biết rằng \(\left( H \right)\) chứa các điểm \(K\) sao cho tích khoảng cách từ \(K\) đến \(AD,\,BC\) luôn bằng \(600\sqrt 2 \,\left( m \right)\). Anh Nghĩa xây thêm một nhà kho để chứa thức ăn cho cá được tạo bởi cạnh \(AD,\,DC\) va đường cong Parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(A\), bết rằng phần đất xây nhà kho có diện tích \(S = \frac{{1600}}{3}\,\left( {{m^2}} \right)\). Anh Nghĩa suy nghĩ và muốn xây một con đường thẳng đi từ nhà kho đến ao cá để vận chuyển thức ăn cho cá. Hãy tính độ dài con đường ngắn nhất? (Đơn vị: mét, làm tròn đến hàng phần trăm)
Chọn hệ trục toạ độ \(O\,xy\) như hình vẽ.
Khi đó: \(A\left( {0;\,0} \right);\,D\left( {0;40} \right);\,C\left( {60;\,40} \right);\,B\left( {100;\,0} \right)\).
Phương trình \(BC:\,\frac{{x - 100}}{{ - 40}} = \frac{y}{{40}} \Leftrightarrow x + y - 100 = 0\)
*Gọi điểm \(K\left( {x;\,y} \right)\left( {x,y > 0} \right)\) thuộc \(\left( H \right)\). Khi đó, ta có: \(d\left( {K;AD} \right).d\left( {K;BC} \right) = 600\sqrt 2 \).
\( \Leftrightarrow \left| x \right|.\left| {x + y - 100} \right| = 1200\)
Vậy \(\left( H \right):\,y = 100 - \frac{{1200}}{x} - x\)
*Vì diện tích phần nhà kho bằng \(\frac{{1600}}{3}\) nên \(\frac{1}{3}AD.2DK = \frac{{600}}{3} \Leftrightarrow DK = 20\). Do đó, \(K\left( {20;\,40} \right)\)
Gọi phương trình \(\left( P \right):\,y = a\,{x^2}\). Vì \(\left( P \right)\) qua điểm \(K\left( {20;\,40} \right)\) nên \(40 = a{.20^2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{{10}}\).
Vậy \(\left( P \right)\): \(y = \frac{1}{{10}}{x^2}\).
Gọi điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right) \in \left( P \right);\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right) \in \left( H \right)\). Khi đó \(AB\) ngắn nhất khi tiếp tuyến của \(\left( P \right)\)tại \(A\) và tiếp tuyến của \(\left( H \right)\) tại \(B\) song song với nhau.
\(\frac{1}{5}{x_1} = - 1 + \frac{{1200}}{{x_2^2}} \Leftrightarrow {x_1} = - 5 + \frac{{6000}}{{x_2^2}}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2}\\ = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{10}}{x_1}^2 - 100 + \frac{{1200}}{{{x_2}}} + {x_2}} \right)^2}\\ = {\left( { - 5 + \frac{{6000}}{{x_2^2}} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{10}}{{\left( { - 5 + \frac{{6000}}{{x_2^2}}} \right)}^2} - 100 + \frac{{1200}}{{{x_2}}} + {x_2}} \right)^2}\end{array}\)
Dùng máy tính xác định được \(AB\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(5,23\) khi \({x_2} \approx 18,13\).