Anh Đạt mới mua một chiếc xe ô tô nhãn hiệu Mercedes S450. Sau quá trình bấm biển số thì biển số xe có dạng 29E - abcde với a, b, c, d, e là các chữ số phân biệt từ 0 đến 9.

Tìm số lượng các biển số có 5 chữ số đôi một khác nhau lập từ tập \(S = \left\{ {0;\,1;\,2;\,...;\,9} \right\}\) mà trong đó bắt buộc có chữ số \(5\).

Gọi \(A\) là biến cố “Biển số xe may mắn” và \(B\) là biến cố “Biển số xe có chữ số \(5\)”

Tổng số biển có \(5\) chữ số khác nhau \(A_{10}^5\)

Số biển không chứa chữ số \(5\) là \(A_9^5\) nên \(n\left( B \right) = A_{10}^5 - A_9^5 = 15120\)(biển)

Các cặp số có tổng bằng \(10\) là: \(\left\{ {1;\,9} \right\},\,\left\{ {2;\,8} \right\},\,\left\{ {3;\,7} \right\},\left\{ {4;\,6} \right\}\)

Trường hợp 1: Chọn số \(0\)

Bộ số hiện có \(\left\{ {5;\,0} \right\}\) thì ta cần chọn thêm \(3\) số nữa được lấy từ \(\left\{ {1;\,9} \right\},\,\left\{ {2;\,8} \right\},\,\left\{ {3;\,7} \right\},\left\{ {4;\,6} \right\}\)(mỗi nhóm 1 số)

Chọn \(3\) nhóm từ \(4\) nhóm có \(C_4^3 = 4\) (cách)

Trong mỗi nhóm đã chọn, có \(2\) cách chọn một số nên có: \(2.2.2 = 8\)(cách chọn)

Xếp \(5\) số này vào \(5\) vị trí có \(5!\) (cách)

Số biển thỏa mãn cho trường hợp này là: \(4.8.5! = 3840\)(biển)

Trường hợp 2: Không chọn số \(0\)

Bộ số hiện có là \(\left\{ 5 \right\}\) thì ta cần chọn thêm \(4\) số nữa từ \(\left\{ {1;\,9} \right\},\,\left\{ {2;\,8} \right\},\,\left\{ {3;\,7} \right\},\left\{ {4;\,6} \right\}\)(mỗi nhóm 1 số) và \(4\)số này phải lấy từ cả \(4\) nhóm nên có \(1\) cách chọn

Trong mỗi nhóm, có hai cách chọn \(1\) số nên có \(2.2.2.2 = 16\)(cách)

Số cách chọn bộ số là \(1.16 = 16\)(cách)

Xếp \(5\) số này vào \(5\) vị trí có \(5!\) (cách)

Số biển thỏa mãn cho trường hợp này là: \(16.5! = 1920\)(biển)

Tổng số biến cố thuận lợi là: \(n\left( {A \cap B} \right) = 3840 + 1920 = 5760\)

Vậy xác suất cần tính là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{5760}}{{15120}} = \frac{8}{{21}} = 0,38095... \approx 0,38\)