Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông 3 km, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để về nhà tại một địa điểm B tọa lạc
20/22
Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí \(A\) cách bờ sông \(3{\rm{\;km}}\), anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để về nhà tại một địa điểm \(B\) tọa lạc ven bờ sông, \(B\) cách vị trí \(O\) trên bờ gần với thuyền nhất là \(8{\rm{\;km}}\). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc \(6{\rm{\;km/h}}\) và chạy bộ trên bờ với vận tốc \(10{\rm{\;km/h}}\). Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba đi từ vị trí xuất phát về đến nhà (Đơn vị là phút, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Gọi \(P\) là điểm trên bờ sông mà anh Ba chèo thuyền cập bến, đặt \(OP = x{\rm{\;km}}\) với \(0 \le x \le 8\).
- Quãng đường chèo thuyền dưới nước: \(AP = \sqrt {O{A^2} + O{P^2}} = \sqrt {{3^2} + {x^2}} = \sqrt {{x^2} + 9} \).
- Quãng đường chạy bộ trên bờ: \(PB = 8 - x\).
Tổng thời gian di chuyển (tính bằng giờ) là: \(T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{{10}}\).
Lấy đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất: \(T'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{{10}}\).
Giải phương trình \(T'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow 10x = 6\sqrt {{x^2} + 9} \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt {{x^2} + 9} \).
Bình phương hai vế: \(25{x^2} = 9\left( {{x^2} + 9} \right) \Leftrightarrow 16{x^2} = 81 \Rightarrow x = \frac{9}{4} = 2,25{\rm{\;km}}\).
Thay \(x = 2,25\) vào hàm thời gian: \(T\left( {2,25} \right) = \frac{{\sqrt {2,{{25}^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - 2,25}}{{10}} = 1,2\) (giờ).
Đổi ra phút: \(1,2 \times 60 = 72{\rm{\;phút}}\).
Đáp án: 72.