An muốn đến nhà Bình chơi. Từ nhà An đến nhà Bình phải đi qua đường Hoàng Diệu có phương trình

19/20

An muốn đến nhà Bình chơi. Từ nhà An đến nhà Bình phải đi qua đường Hoàng Diệu có phương trình \(d:2x + y + 5 = 0\). Giả sử nhà An ở vị trí có tọa độ \(A\left( {1; - 3} \right)\), nhà Bình ở vị trí có tọa độ \[B\left( { - 4;2} \right)\]. Gọi điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường Hoàng Diệu sao cho An đi từ nhà mình đến nhà Bình và qua \(M\) là đường đi ngắn nhất. Tính \(a + b\).

Giải thích

Dễ thấy \(A,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d\).

Khi đó \(AM + MB \ge AB\).

Do đó đường đi ngắn nhất khi 3 điểm \(A,B,M\) thẳng hàng.

Suy ra \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương.

Ta có \(M \in d \Rightarrow M\left( {t; - 5 - 2t} \right)\), \(\overrightarrow {AM} = \left( {t - 1; - 2t - 2} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;5} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương nên \(\frac{{t - 1}}{{ - 5}} = \frac{{ - 2t - 2}}{5}\)\( \Leftrightarrow 5\left( {t - 1} \right) - \left( { - 2t - 2} \right) \cdot \left( { - 5} \right) = 0 \Rightarrow t = - 3\)\( \Rightarrow M\left( { - 3;1} \right)\).

Do đó \(a + b = - 2\).