a^2/b^2 b^2/c^2 c^2/a^2 =a/b b/c c/a chung minh a=b=c

Lời giải:

Ta có: \[\frac{{{{\rm{a}}^2}}}{{{{\rm{b}}^2}}} + \frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{c}}^2}}} + \frac{{{{\rm{c}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}} = \frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}} + \frac{{\rm{b}}}{{\rm{c}}} + \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}\]

a⁴c² + b⁴a² + c⁴b² = abc(a²c + c²a + b²c)

Đặt x = a²c, y = b²a, z = c²b. Ta được:

x² + y² + z² = xy + yz + zx

 2(x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 0

( x² + y² – 2xy) + (y² + z² – 2yz) + (x² + z² – 2zx) = 0

(x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 0

 x = y = z

 a²c = b²a = c²b

ac = b²; bc = a²; ab = c²

 a = b = c (đpcm).