a) Xác định các hệ số a,b,c của đa thức

a) Xác định các hệ số \(a,\,\,b,\,\,c\) của đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) biết \(P\left( { - 2} \right) =  - 29,\,\,P\left( 1 \right) =  - 5,\,\,P\left( 3 \right) = 1.\)

Vì \(P\left( { - 2} \right) =  - 29\) nên ta có \( - 8 + 4a - 2b + c =  - 29 \Leftrightarrow 4a - 2b + c =  - 21.\)

Vì  \(P\left( 1 \right) =  - 5\) nên ta có \(1 + a + b + c =  - 5 \Leftrightarrow a + b + c =  - 6.\)

Vì \(P\left( 3 \right) = 1\) nên ta có \(27 + 9a + 3b + c = 1 \Leftrightarrow 9a + 3b + c =  - 26.\) 

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a - 2b + c =  - 21\\a + b + c =  - 6\\9a + 3b + c =  - 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 2\\c =  - 5\end{array} \right..\)

Vậy \(a =  - 3;{\rm{ }}b = 2;{\rm{ }}c =  - 5.\)

b) Cho \(n\) là số nguyên dương sao cho \(4n + 13\) và \(5n + 16\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(2023n + 45\) chia hết cho \(24.\)

Giả sử \(4n + 13 = {a^2}\) và \(5n + 16 = {b^2}\) \(\left( {a,{\rm{ }}b \in \,{\mathbb{N}^*}} \right).\)

Từ \(4n + 13 = {a^2} \Rightarrow a\) là số lẻ.

Ta có \(4n + 13 = {a^2} \Leftrightarrow 4\left( {n + 3} \right) = {a^2} - 1 \Leftrightarrow 4\left( {n + 3} \right) = \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right).\)

Vì \(a\) là số lẻ nên \(a - 1\) và \(a + 1\) là hai số chẵn liên tiếp, do đó \(\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) \vdots 8 \Rightarrow \left( {n + 3} \right) \vdots 2 \Rightarrow n\) là số lẻ.

Suy ra \({b^2} = 5n + 16\) là số lẻ.

Lại có \(5n + 16 = {b^2} \Leftrightarrow 5\left( {n + 3} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {b + 1} \right)\,\, \vdots \,\,8.\)

Mà \(\left( {5;8} \right) = 1 \Rightarrow \left( {n + 3} \right) \vdots \,\,8\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có \({a^2} + {b^2} = 9n + 29 \equiv 2\left( {\bmod 3} \right)\)

mà \({a^2} \equiv \left\{ {0;1} \right\}\left( {\bmod 3} \right);{\rm{ }}{b^2} \equiv \left\{ {0;1} \right\}\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {a^2} \equiv {b^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\,\,\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4n + 13 \equiv 1\left( {{\rm{mod }}3} \right)\\5n + 16 \equiv 1\left( {{\rm{mod }}3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {n + 3} \right) \equiv 0\left( {{\rm{mod }}3} \right)\,{\rm{  }}\,\left( 2 \right).\)

Vì \(\left( {3;8} \right) = 1\) nên từ (1) và (2) suy ra \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,24\).

Từ đó \(2023n + 45 = 2016n + 7\left( {n + 3} \right) + 24\,\, \vdots \,\,24\) (đpcm).