a) Viết hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán. b) Biết một chiếc bàn lãi 600 nghìn đồng, một chiếc ghế lãi 450 nghìn đồng. Hỏi trong một ngày, xưởng cần sản xuất bao nhiêu

Lời giải

a) Thời gian lắp ráp tối đa mỗi ngày là \(3 \cdot 8 = 24\) giờ.

Thời gian hoàn thiện tối đa mỗi ngày là \(4 \cdot 8 = 32\) giờ.

Thời gian lắp ráp cần để sản xuất \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là \(1,5x + y\) (giờ).

Thời gian hoàn thiện cần để sản xuất \(x\) chiếc bàn và \(y\) chiếc ghế là \(x + 2y\)(giờ).

Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\1,5x + y \le 24\\x + 2y \le 32\\y \le 3,5x\end{array} \right.\) (I).

b) Tiền lãi mà xưởng thu được là \(F\left( {x,y} \right) = 600x + 450y\) nghìn đồng.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 600x + 450y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {4;14} \right),B\left( {8;12} \right),C\left( {16;0} \right)\).

Ta có \(F\left( {0,0} \right) = 600 \cdot x + 450 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {4,14} \right) = 600 \cdot 4 + 450 \cdot 14 = 8700\);

\(F\left( {8,12} \right) = 600 \cdot 8 + 450 \cdot 12 = 10200\); \(F\left( {16,0} \right) = 600 \cdot 16 + 450 \cdot 0 = 9600\).

Vậy \(F\) đạt giá trị lớn nhất là 10200 nghìn đồng khi \(x = 8;y = 12\).

Vậy xưởng cần sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế để thu được lãi cao nhất.