a) vec BA + vec BM + vec BC = 3. vec BG b) vec CM = 1/2 vec BA - 3. vec BC
16/22
Cho hình chữ nhật \(ABCD\), \(AB = 4a,AD = 3a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\) (tham khảo hình vẽ)
Các câu sau đúng hay sai?
a) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BG} \).
b) \(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - 3\overrightarrow {BC} \).
c) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = 0\).
d) \(\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {CM} = - {a^2}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Vì G là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên \(3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} \).
b) Ta có \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \).
c) Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = 0\).
d) Ta có \(3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \)\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Ta có \(\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right).\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)\( = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( = \frac{1}{4}.{\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3}.\left( {3{a^2}} \right) = {a^2}\).