a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(- 2;3) và đi qua điểm A(6;0). Viết phương trình đường tròn (C).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {IA} \left( {8;\,\, - 3} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {73} \).

Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = \sqrt {73} \).

Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) cần tìm là: \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 73\).

b)

Từ điểm \(I\) kẻ \(IH\) vuông góc với đường thẳng \(d\left( {H \in d} \right)\).

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(d\) là: \(d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(4\) nên độ dài cạnh \(AB\) bằng: \(2.4:2 = 4\).

\( \Rightarrow AH = HB = \frac{1}{2}AB = 2\).

Xét tam giác \(AIH\), vuông tại \(H\) có: \(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \).

Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(IA = 2\sqrt 2 \) là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).