a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho (P) : y = 2x^2 và đường

a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + m\). Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại A.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

\(2{x^2} = \frac{1}{2}x + m \Leftrightarrow 4{x^2} - x - 2m = 0\) (1).

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B \( \Leftrightarrow \) (1) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta = 1 + 32m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{{32}}\).

Vì tam giác \(OAB\) vuông tại A nên \(OA \bot AB\), hay \(OA \bot (d)\).

Mặt khác, đường thẳng OA đi qua O nên OA có phương trình là \(y = - 2x\).

Phương trình hoành độ giao điểm của OA và (P): \(2{x^2} = - 2x\).

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;{x_2} = - 1\), suy ra \(A( - 1;2)\).

Vì (d) đi qua A nên \(2 = \frac{1}{2}.( - 1) + m\), suy ra \(m = \frac{5}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{5}{2}\) là giá trị cần tìm.

b) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2y - 3} + 2{y^2} + 4y = 0{\rm{   (1)}}\\{x^2} + 1 = xy{\rm{                            (2)}}\end{array} \right..\]

Dễ thấy \(x = 0\) không thỏa (2) nên \((2) \Leftrightarrow y = x + \frac{1}{x}\). Thay vào (1), ta được

\(\sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + 4\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{x} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt { - x - \frac{2}{x} - 3} + 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 2{\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - x - \frac{2}{x} - 3 = x + 1 = \frac{1}{x} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 1.\end{array}\)

Với \(x = - 1\), ta suy ra \(y = - 2\).

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \((x;y) = ( - 1; - 2)\).