a) Tính sin 2a, cos 2a, biết: sina + cosa = 1/2 và pi/2 < a < 3pi/4.
38/38
a) Tính \(\sin 2a,{\rm{cos}}2a\), biết: \({\rm{sin}}a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).
b) Với hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:
Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\).
Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông thành phần bằng nhau như hình vẽ.
Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông \({A_3}{B_3}{C_3}{D_3}\) là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) thành phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm \(49,99\% \).
a)Ta có: \({({\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a)^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a + 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a = \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow 1 + {\rm{sin}}2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\rm{sin}}2a = - \frac{3}{4}{\rm{.\;}}\)
Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\pi < 2a < \frac{{3\pi }}{2}\), do đó \({\rm{cos}}2a < 0\). Mặt khác từ \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {2a} \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {2a} \right) = 1\)
Suy ra \({\rm{cos}}2a = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {2a} \right)} = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).
b) Gọi diện tích được tô màu ở mỗi bước là \({u_n},n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Ta có dãy các giá trị \({u_n}\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{4}{9}\) và công bội \(q = \frac{1}{9}\).
Gọi \({S_k}\) là tổng của \(k\) số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì \({S_k} = \frac{{{u_1}\left( {{q^k} - 1} \right)}}{{q - 1}}\).
Để tổng diện tích phần được tô màu chiếm \(49,99{\rm{\% }}\) thì \(\frac{{{u_1}\left( {{q^k} - 1} \right)}}{{q - 1}} \ge 0,4999 \Leftrightarrow k \ge 3,8\).
Vậy cần ít nhất 4 bước.