a) Tính giới hạn Lim căn {n^2} - 2n + 3}  - n}

a) Ta có

\(L = \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 2n + 3} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} - 2n + 3 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - 2n + 3} + n}} = \lim \frac{{ - 2n + 3}}{{n\sqrt {1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} + n}}\)

\( = \lim \frac{{ - 2 + \frac{3}{n}}}{{\sqrt {1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} + 1}} = - 1\).

b)

Xét tam giác \(BCD\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\).

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\). Suy ra \(MN\,{\rm{//}}\,BD\) và \(MN{\rm{ = }}\frac{1}{2}BD\).                \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\) có \(G\) chung và \(MN\,{\rm{//}}\,BD\) nên giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\) là đường thẳng \(EF\) đi qua \(G\) và song song với \(MN{\rm{,}}BD\).

Mà \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\) nên \(EF = \frac{2}{3}BD\).\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{EF}}{{MN}} = \frac{4}{3}\).