a) Tính AH, BH, HC.

a) Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại A, ta có

BC² = AB² + AC² hay AC² = 25² − 7² =576.

Suy ra AC = 24 cm

Xét ∆ABC và ∆HBA có

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); \[\widehat B\] chung

Do đó ∆ABCᔕ∆HBA (g.g)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) nên \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{7 \cdot 24}}{{25}} = 6,72\,\,(cm)\)

Ta có ∆ABCᔕ∆HBA suy ra \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\)

Nên AB² = BH . BC, suy ra BH = 1,96 cm

Chứng minh tương tự, ta có AC² = CH . BC suy ra CH = 23,04 cm.

b) Diện tích tam giác ABC là

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 7 = 84\,\,(c{m^2})\)

Xét ∆ABH và ∆AHM có

\(\widehat {AHB} = \widehat {AMH} = 90^\circ \); \[\widehat {BAH}\] chung.

Do đó ∆ABH ᔕ ∆AHM (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AH}}{{MH}}\) nên \(MH = \frac{{AH \cdot BH}}{{AB}} = \frac{{6,72 \cdot 1,96}}{7} \approx 1,88\,\,(cm)\).

Khi đó AN = HM ≈ 1,88 cm.

Tương tự, ta tính được \(HN = \frac{{AH \cdot CH}}{{AC}} = \frac{{6,72 \cdot 23,04}}{{24}} \approx 6,45\,\,(cm)\).

Khi đó AM = HN ≈ 6,45 cm.

Diện tích tam giác AMN là:

\({S_{AMN}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot 6,45 \cdot 1,88 \approx 5,11\,\,(c{m^2})\)

Diện tích tứ giác BMNC là:

S_BMNC = S_ABC − S_AMN ≈ 84 – 5,11 = 78,89 (cm²).

Vậy diện tích tứ giác BMNC khoảng 78,89 cm².