a) Tìm x thuốc R sao cho x + căn bậc hai 2024 và 1/x - căn bậc hai 2024 đều là các số nguyên

a) Theo giả thiết ta có thể đặt như sau \(x + \sqrt {2024}  = a,\,\frac{1}{x} - \sqrt {2024}  = b\) thì \(a,b \in \mathbb{Z}\)

Bằng các phép biến đổi ta được

     \(\left( {a - \sqrt {2024} } \right)\left( {b + \sqrt {2024} } \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {2024} \left( {a - b} \right) = 2025 - ab\)

Vì \(\sqrt {2024} \) vô tỷ và a – b, 2025 – ab nguyên nên a = b và 2025 = ab suy ra \(a = b =  \pm 45\)

Khi đó bằng phép thế ta được

\(x + \sqrt {2024}  = a =  \pm 45 \Leftrightarrow x \in \left\{ {45 - \sqrt {2024} ,\, - 45 - \sqrt {2024} } \right\}\)

Vậy tất cả giá trị x thỏa mãn là \(x \in \left\{ {45 - \sqrt {2024} ,\, - 45 - \sqrt {2024} } \right\}\)

b) Theo giả thiết \(2a = {b^3}\,\left( 1 \right)\) và \(5a = {c^2}\,\left( 2 \right)\) với b,c là các số nguyên dương.

Từ (1) suy ra \({b^3}\) chia hết cho 2, mà 2 là số nguyên tố nên b chia hết cho 2.

Đặt b = 2d, thay vào (1) được \(2a = 8{d^3}\), hay là \(a = 4{d^3}\,\left( 3 \right)\).

Từ (2) suy ra \({c^2}\) chia hết cho 5, mà 5 là số nguyên tố nên c chia hết cho 5

Đặt c = 5e, thay vào (2) được \(5a = 25{e^2}\), hay là \(a = 5{e^2}\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) có \(a = 4{d^3} = 5{e^2}\,\left( 5 \right)\) với d,e là các số nguyên dương. Do 4 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (5) thì \({d^3}\) chia hết cho 5, suy ra d chia hết cho 5

Đặt d = 5k, thay vào (5) được \(a = 5{e^2} = 500{k^3}\) với k là số nguyên dương

Từ đó \({e^2} = 100{k^3} = {10^2}{k^3}\). Điều này xảy ra với số k nhỏ nhất là k = 1, e = 10 và a = 500

Lúc đó \(2a = 1000 = {10^3}\) và \(5a = 2500 = {50^2}\) thỏa mãn bài toán

Vậy số nguyên dương a nhỏ nhất thỏa mãn là a – 500