a) Tìm tất cả các số thực \(x\) để \(p = {5}{{x -căn bậc hai x  + 2}}\) là số nguyên.

Ta có\(p = \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = \frac{5}{{{{\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}}}\)

\( \Rightarrow 0 < p \le \frac{5}{{\frac{7}{4}}} = \frac{{20}}{7} \Rightarrow p = 1;\,\,2\)

TH1: \(p = 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = 1 \Leftrightarrow x - \sqrt x - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt x = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}.\)

TH2: \(p = 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = 2 \Leftrightarrow 2x - 2\sqrt x - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt x = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}.\)

Vậy có hai giá trị cần tìm là \(x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2};\,\,\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}.\)

Ta có \(A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1 = \left( {{n^{2024}} - {n^2}} \right) + \left( {{n^{2023}} - n} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right)\)

\( = {n^2}\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + n\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right)\)

Ta có \(\left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^{2022}} - 1} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left[ {{{\left( {{n^3}} \right)}^{674}} - 1} \right]\)

       \( = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^3} - 1} \right).B = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right).B\) chia hết cho \({n^2} + n + 1\)

Lại có \({n^4} + {n^2} + 1 = {n^4} + 2{n^2} + 1 - {n^2} = {\left( {{n^2} + 1} \right)^2} - {n^2}\)

                         \( = \left( {{n^2} + n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right)\)chia hết cho \({n^2} + n + 1\)

Vậy \(A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1\) chia hết cho \({n^2} + n + 1\) với mọi số tự nhiên \(n\) lớn hơn 1 nên \(A\) không phải là số nguyên tố.