a) Tìm tất cả các số thực a sao cho

a) Tìm tất cả các số thực a sao cho \(a + \sqrt {2023} \) và \(\frac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \) đều là các số nguyên.

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}x = a + \sqrt {2023} \\y = \frac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = x - \sqrt {2023} \\y = \frac{{999}}{{x - \sqrt {2023} }} + \sqrt {2023} \end{array} \right..\]

Ta có \[y = \frac{{999}}{{x - \sqrt {2023} }} + \sqrt {2023} \Leftrightarrow xy - y\sqrt {2023} = 999 + x\sqrt {2023} - 2023\]

\[ \Leftrightarrow xy + 1024 = \left( {x + y} \right)\sqrt {2023} \].

Vì x, y nguyên nên \(x + y = 0\), suy ra \(y = - x\) và \(xy + 1024 = 0\).

Do đó \(x = \pm 32\). Vậy \(a = \pm 32 - \sqrt {2023} \).

b) Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(4{a^2} + {b^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(T = \frac{{4a}}{{2 + b}} + \frac{b}{{1 + a}} + \frac{{2024}}{{2a + b}}\).

Ta có \[4{a^2} + {b^2} \ge 4ab \Leftrightarrow 2\left( {4{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {2a + b} \right)^2}\]

\( \Leftrightarrow 4 \ge {\left( {2a + b} \right)^2} \Leftrightarrow 2a + b \le 2 \Leftrightarrow a + \frac{b}{2} \le 1\).

Đặt \(x = a;y = \frac{b}{2}\) , ta có \(x + y \le 1\).

Khi đó \(\frac{1}{2}T = \frac{a}{{1 + \frac{b}{2}}} + \frac{b}{{2\left( {1 + a} \right)}} + \frac{{506}}{{a + \frac{b}{2}}} = \frac{x}{{1 + y}} + \frac{y}{{1 + x}} + \frac{{506}}{{x + y}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

• \(\frac{x}{{1 + y}} + \frac{4}{9}x\left( {1 + y} \right) \ge \frac{4}{3}x \Leftrightarrow \frac{x}{{1 + y}} \ge \frac{8}{9}x - \frac{4}{9}xy\).

• \(\frac{y}{{1 + x}} + \frac{4}{9}y\left( {1 + x} \right) \ge \frac{4}{3}y \Leftrightarrow \frac{y}{{1 + x}} \ge \frac{8}{9}y - \frac{4}{9}xy\).

Suy ra \(\frac{1}{2}T \ge \frac{8}{9}\left( {x + y} \right) - \frac{8}{9}xy + \frac{{506}}{{x + y}} \ge \frac{8}{9}\left( {x + y} \right) + \frac{8}{{9(x + y)}} + \frac{{4546}}{{9(x + y)}} - \frac{8}{9}xy\).\( \ge \frac{8}{9}.2 + \frac{{4546}}{9} - \frac{8}{9}.\frac{1}{4} = \frac{{1520}}{3}\). ( để ý \(xy \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} \le \frac{1}{4}\))

Do đó \(T \ge \frac{{3040}}{3}\). Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\) hay \(a = \frac{1}{2};b = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng \(\frac{{3040}}{3}\) đạt được khi \(a = \frac{1}{2};b = 1\).