a) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình

a) Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - m = 0\) (1)

Ta có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( {{m^2} - m} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + m = - m + 1\)

Vì phương trình (1) là phương trình bậc hai nên để PT (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0\)

                                                       \( \Leftrightarrow - m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < 1\)

Khi đó áp dụng định lí Vi ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - m\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài ta có: \(2\left| {{x_1} + {x_2}} \right| = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)

\( \Leftrightarrow 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)

                         \( \Leftrightarrow 3{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = 0\)

\( \Rightarrow 3{\left[ {2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} + 4\left( {{m^2} - m} \right) = 0\)

                           \( \Leftrightarrow 3\left( {4{m^2} - 8m + 4} \right) + 4{m^2} - 4m = 0\)

                                                  \( \Leftrightarrow 12{m^2} - 24m + 12 + 4{m^2} - 4m = 0\)

                                                                  \( \Leftrightarrow 16{m^2} - 28m + 12 = 0\)

                                                                      \( \Leftrightarrow 4{m^2} - 7m + 3 = 0\)

                                         \( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right).\left( {4m - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1 = 0}\\{4m - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = \frac{3}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Mà \(m < 1\) nên \(m = \)\(\frac{3}{4}\)

b) Từ \(\frac{1}{y} - \frac{2}{x} = \frac{3}{{2x + y}}\) (đk : \(x \ne 0,\;y \ne 0;2x + y \ne 0)\)

\( \Rightarrow \frac{{x - 2y}}{{xy}} = \frac{3}{{2x + y}} \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {2x + y} \right) = 3xy\)

                                                         \( \Leftrightarrow 2{x^2} + xy - 4xy - 2{y^2} = 3xy\)

                                                       \( \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 6xy\)

                                                                       \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 3xy\)

Suy ra P = \(\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4} + {y^4}}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + 4{x^2}{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{{{{\left( {3xy} \right)}^2} + 4{x^2}{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}} = \frac{{13{x^2}{y^2}}}{{{x^2}{y^2}}}\) = 13